Аннотация. 

В последние годы наблюдается новая волна интереса к теории оптимального транспорта (ОТ), обусловленная развитием масштабируемых и вычислительно эффективных методов решения задач ОТ и их активным использованием в задачах машинного обучения и генеративного моделирования. Кроме того, в настоящее время активно развиваются обобщенные постановки задачи ОТ (в частности, несбалансированные) и численные методы их решения, направленные на повышение практический применимости методов ОТ. В статье представлен обзор классических и обобщенных постановок задачи оптимального транспорта, а также современных минимаксных параметрических подходов к решению таких задач (включая нейросетевые модели), которые активно используются для решения задач машинного обучения.

Ключевые слова: 

оптимальный транспорт, численные методы, машинное обучение, нейросетевые алгоритмы.

DOI: 10.14357/20790279260303

EDN: AAELCW

Стр. 14-21.

Литература

1. Santambrogio F. Optimal transport for applied mathematicians: calculus of variations, PDEs, and modeling. Cham: Birkhäuser, 2015. 353 p.

2. Kantorovich J.L.B. O peremeueniia macc // Doklady Akademii Nauk SSSR. 1942. Vol. 37(7-8). P. 227-229.

3. Benamou J.D., Brenier Y. A computational fluid mechanics solution to the Monge-Kantorovich mass transfer problem // Numerische Mathematik. 2000. Vol. 84. No. 3. P. 375-393.

4. Knott M., Smith C.S. On the optimal mapping of distributions // Journal of Optimization Theory and Applications. 1984. Vol. 43. No. 1. P. 39-49.

5. RoutL., KorotinA., Burnaev E. Generativemodeling with optimal transport maps // International Conference on Learning Representations, 2022.

6. Gazdieva M., Mokrov P., Rout L., Korotin A., Kravchenko A., Filippov A., Burnaev E. An optimal transport perspective on unpaired image super-resolution // Journal of Optimization Theory and Applications. 2025. Vol. 207. No. 2. Art. 40.

7. Villani C. Optimal transport: old and new. Berlin; Heidelberg: Springer, 2009. 976 p.

8. Fan J., Liu S., Ma S., Zhou H.-M., Chen Y. Neural Monge map estimation and its applications // Transactions on Machine Learning Research, 2023.

9. Sejourné T., Peyré G., Vialard F.-X. Unbalanced optimal transport, from theory to numerics // Numerical Control: Part B. Elsevier, 2023. P. 407-471.

10. Korotin A., Selikhanovych D., Burnaev E. Neural optimal transport // International Conference on Learning Representations, 2023.

11. Korotin A., Selikhanovych D., Burnaev E. Kernel neural optimal transport // International Conference on Learning Representations, 2023.

12. Asadulaev A., Korotin A., Egiazarian V., Mokrov P., Burnaev E. Neural optimal transport with general cost functionals // The Twelfth International Conference on Learning Representations, 2024.

13. Buzun N., Bobrin M., Dylov D.V. Expectile regularization for fast and accurate training of neural optimal transport // Advances in Neural Information Processing Systems. 2024. Vol. 37. P. 119811-119837.

14. Nguyen B., Nguyen B., Nguyen H.T., Nguyen V.A. Generative conditional distributions by neural (entropic) optimal transport // Proceedings of the 41st International Conference on Machine Learning. 2024. Vol. 235. P. 37761-37775.

15. Rockafellar R.T. Integral functionals, normal integrands and measurable selections // Nonlinear Operators and the Calculus of Variations. Berlin; Heidelberg: Springer, 1976. P. 157-207.

16. Goodfellow I., Pouget-Abadie J., Mirza M., Xu B., Warde-Farley D., Ozair S., Courville A., Bengio Y. Generative adversarial networks // Communications of the ACM. 2020. Vol. 63. No. 11. P. 139-144.

17. Tarasov R., Mokrov P., Gazdieva M., Burnaev E., Korotin A. A statistical learning perspective on semi-dual adversarial neural optimal transport solvers // International Conference on Learning Representations, 2026.

18. Korotin A., Li L., Genevay A., Solomon J.M., Filippov A., Burnaev E. Do neural optimal transport solvers work? A continuous Wasserstein-2 benchmark // Advances in Neural Information Processing Systems. 2021. Vol. 34. P. 14593-14605.

19. Choi J., Choi J., Kang M. Generative modeling through the semi-dual formulation of unbalanced optimal transport // Advances in Neural Information Processing Systems. 2023. Vol. 36. P. 42433-42455.

20. Gazdieva M., Korotin A., Selikhanovych D., Burnaev E. Extremal domain translation with neural optimal transport // Advances in Neural Information Processing Systems. 2023. Vol. 36. P. 40381-40413.

21. Gazdieva M., Asadulaev A., Burnaev E., Korotin A. Light unbalanced optimal transport // Advances in Neural Information Processing Systems. 2024. Vol. 37. P. 93907-93938.

22. Gazdieva M., Choi J., Kolesov A., Choi J., Mokrov P., Korotin A. Robust barycenter estimation using semi-unbalanced neural optimal transport // International Conference on Learning Representations, 2025.

23. Lübeck F., Bunne C., Gut G., del Castillo J.S., Pelkmans L., Alvarez-Melis D. Neural unbalanced optimal transport via cycle-consistent semi-couplings // NeurIPS 2022 Workshop on Learning Meaningful Representations of Life. 2022.

24. Eyring L., Klein D., Uscidda T., Palla G., Kilbertus N., Akata Z., Theis F.J. Unbalancedness in neural Monge maps improves unpaired domain translation // The Twelfth International Conference on Learning Representations, 2024.

25. Klein D., Uscidda T., Theis F., Cuturi M. GENOT: entropic (Gromov) Wasserstein flow matching with applications to single-cell genomics // Advances in Neural Information Processing Systems. 2024. Vol. 37. P. 103897-103944.