Аннотация.

В работе рассматриваются обратные задачи эволюционного типа для математических моделей квазистационарных электромагнитных волн. В модели предполагается, что длина волны мала по сравнению с пространственными неоднородностями. Вводя электрический и магнитный потенциал получаем эллиптическое уравнение второго порядка по пространственным переменным, содержащее интегральные слагаемые типа свертки по времени. После дифференцирования по времени задача сводится к уравнению составного типа с интегральным слагаемым. Определению вместе с решением подлежат неизвестные коэффициенты в интегральном операторе. Дополнительно к краевым условиям задаются условия переопределения в виде заданного набора функционалов от решения, которые могут иметь произвольный вид (интегралы от решения с весом, значения решения в отдельных точках, и пр.). Мы строим численный алгоритм решения этой обратной задачи и приводим результаты численных экспериментов. Алгоритм основан на полученных ранее теоретических результатах, где задача сводилась к некоторому уравнению Вольтерра и доказывалась сходимость метода последовательных приближений. Соответствующий оператор являлся сжимающим на малом промежутке времени. В данной работе в качестве метода используется метод последовательных приближений и метод конечных элементов.

Ключевые слова:

уравнение Соболевского типа, эллиптическое уравнение, уравнения с памятью, обратная задача, краевая задача, численное решение, метод конечных элементов.

Стр. 38-45.

DOI: 10.14357/20790279190405

 Полная версия статьи в формате pdf.

Литература

1. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. 2007. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа. ФМЛ. 737 с.
2. Габов С.А., Свешников А.Г. 1990. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука. 341 с.
3. Colombo F., Guidetti D. 2005. An Inverse Problem for a Phase-field Model in Sobolev Spaces. Nonlinear Elliptic and Parabolic Problems. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Basel: Birkhäuser Verlag. Vol. 64, 189–210.
4. Guidetti D. and Lorenzi A. 2007. A mixed type identification problem related to a phase-field model with memory. Osaka J. Math.. Vol. 44. 579–613.
5. Lorenzi A., Paparone I. 1992. Direct and inverse problems in the theory of materials with memory. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. Vol. 87. 105-138.
6. Janno J., Von Wolfersdorf L. 1997. Inverse Problems for Identification of Memory Kernels in Viscoelasticity. Mathematical Methods in the Applied Sciences. Vol. 20. 291-314.
7. Colombo F., Guidetti D. 2007. A global in time existence and uniqueness result for a semilinear integrodifferential parabolic inverse problem in Sobolev spaces. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences Vol. Vol. 17, No. 4. 537–565
8. Colombo F. 2015. On some methods to solve integro-differential inverse problems of parabolic type. ВестникЮУрГу. Серия “Математическое моделирование и программирование”. Т. 8, 3. 95-115.
9. Favini A., Lorenzi A. 2004. Identication problems for singular integro-differential equations of parabolic type II. Nonlinear Analysis. Vol. 56, No.6. 879-904.
10. Lorenzi A., Tanabe H. 2006. Inverse and direct problems for nonautonomous degenerate integrodifferential equations of parabolic type with Dirichlet boundary conditions. Differential Equations: inverse and Direct Problems. Lecture notes in pure and applied mathematics. Vol. 251. Boca Raton, London, New York: Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Group. 197-244.
11. Abaseeva N., Lorenzi A. 2005. Identification problems for nonclassical integro-differential parabolic equation. J. Inv. Ill-Posed Problems. Vol. 13, No. 6, 513–535.
12. Durdiev D.K., Safarov Zh.Sh. 2015. Inverse problem of determining the one-dimensional kernel of the viscoelasticity equation in a bounded domain. Mathematical Notes. Vol. 97, No. 6. 867-877.
13. Асанов А., Атаманов Э.Р. 1995. Обратная задача для операторного интегро-дифференциального псевдопараболического уравнения. Сиб. матем. журн. Т. 36, 4. 752-762.
14. Avdonin S.A.,Ivanov S.A., Wang j. 2016. Inverse Problems for the Heat Equation with Memory. Available at:https://arxiv.org/abs/1612.02129
15. Pandolfi L. 2016. Identification of the relaxation kernel in diffusion processes and viscoelasticity with memory via deconvolution. Available at: https://arxiv.org/abs/1603.04321.
16. Денисов А.М. 2001. Обратная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения. Дифференц. Уравнения. Т. 37, 10. 1350-1356.
17. Pyatkov S.G., Shergin S.N. 2015. On some mathematical models of filtration theory. Вестник ЮУрГУ. Серия ”Математическое моделирование и программирование”. Т. 8, 2. 105-116.
18. Lyubanova A.Sh. 2013. Identification of a coefficient in the leading term of a pseudoparabolic equation of filtration, Sibirskii matematicheskii zhurnal. №6. 1315-1330.
19. Lyubanova A.Sh., Tani A. 2011. On inverse problems for pseudoparabolic and parabolic equations of filtration. Inverse problems in science and engineering. V. 19, No. 7. 1023-1042.
20. Кожанов А.И. 2008. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа. Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. Т. 8, Вып. 3. 81–99.
21. Pyatkov S.G., Shergin S.N. 2018. Inverse problems for mathematical models of quasistationary electromagnetic waves in anisotropic nonmetallic media with dispersion. Вестник ЮУрГУ. Серия “Математическое моделирование и программирование”. Т. 11, 1. 44-59.