Аннотация.

Рассматривается обратная задача определения вместе с решением, местоположения и интенсивности точечного источника в уравнении адвекции-дисперсии-реакции с использованием двух точечных измерений, расположенных по обе стороны относительно источника. Уравнение дополняется начальными и граничными условиями типа Неймана или Дирихле. Теоретический обзор этой обратной задачи, рассматривается во многих статьях, как в одномерном, так и в многомерном случаях. Однако большая часть из них основана на сведении задачи к задаче оптимального управления и минимизации соответствующего функционала. Как правило, это требует больших вычислительных возможностей и не всегда приводит к желаемому результату. В работе приводится описание схемы численного алгоритма. Численный алгоритм определения местоположения источника и решения обратной задачи обоснован с помощью явной асимптотической формулы. Интенсивность определяется по формуле Дюамеля. Численная реализация опирается на методы конечных элементов и конечных разностей для соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведены численные эксперименты для двух групп входных данных. Представлены результаты численных экспериментов по восстановлению местоположения и интенсивности источников. Численные эксперименты демонстрируют хорошую сходимость.

Ключевые слова:

параболическое уравнение, обратная задача, метод конечных элементов, функция источника.

Стр. 46-54.

DOI: 10.14357/20790279190406

 Полная версия статьи в формате pdf.

Литература

1. Marchuk G.I. 1986. Mathematical modeling in environmental problems. Studies in Mathematics and its Applications, Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, Inc., 16, pp: 216.
2. Alifanov O.M. 1994. Inverse Heat Transfer Problems. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg, pp: 348.
3. Deng X., Y. Zhao and J. Zou. 2013. On linear finite elements for simultaneously recovering source location and intensity. Inter. J. Numer. Analysis and Modeling, 10(3): 588-602.
4. Kabanikhin S. I. 2011. Inverse and Ill-Posed Problems: theory and applications. De Gruyter, Berlin/Boston, pp: 459.
5. Ozisik M.N. and H.A.B. Orlando. 2000. Inverse heat transfer. New-York: Taylor & Francis, pp: 352.
6. Boano F., R. Revelli and L. Ridolfi. 2005. Source identification in river pollution problems: a geostatistical approach. Water Recources Research, 41(7): 1-13.
7. Hamdi A. 2007. Identication of Point Sources in Two Dimensional Advection-Diffusion-Reaction Equation: Application to Pollution Sources in a River. Stationary Case. Inverse Problems in Science and Engineering, 15(8), 855-870.
8. Liu C.-S. and C.-W. Chang. 2016. A global boundary integral equation method for recovering spacetime dependent heat source. Intern. J. of Heat and Mass Transfer, 92: 1034-1040.
9. Ridolfi L. and M. Macis. 1997. Identification of Source Terms in Nonlinear Convection Diffusion Phenomena by Sine Collocation-Interpolation Methods. Math. Comput. Modeling, 26(2): 69-79.
10. Su J. and A.J.S. Neto. 2001. Heat Source Estimation with the Conjugate Gradient Method in Inverse Linear Diffusive Problems. J. Braz. Soc. Mech. Sci., 23(3): 321-334.
11. Orlande N.B.R. 2010. Inverse Problems in Heat Transfer: New Trends on Solution Methodologies and Applications. J. of Heat Transfer, 134(3): 379-398.
12. Badia A. El., T Ha-Duong and A. Hamdi. 2005. Identification of a point source in a linear advection–dispersion–reaction equation: application to a pollution source problem. Inverse Problems, 21(3): 1-17.
13. Badia A.El. and A. Hamdi. 2007. Inverse source problem in an advection-dispersion- reaction system: application to water pollution. Inverse Problems, 23(5): 2103-2120.
14. Ling L. 2009. T. Takeuchi Point Sources identification problems for heat equations Commun. Comput. Phys., 5 (5): 897-913.
15. Prilepko A.I., D.G. Orlovsky and I.A. Vasin. 1999. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics. New-York, Marcel Dekker, Inc., pp: 454.
16. Isakov V. 1990. Inverse Source Problems, Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI., 34, pp: 191.
17. Rao K.S. 2007. Source estimation methods for atmospheric dispersion. Atmos. Environ., 41(33): 6964–6973.
18. Sharan M., J.-P. Issartel, K. Singh and P. Kumar. 2009. An inversion technique for the retrieval of single-point emissions from atmospheric concentration measurements. Proc. R. Soc. A., 465(2107): 2069-2088.
19. Mamonov A.V. and Y-H.R. Tsai. 2013. Point source identification in nonlinear advection-diffusion-reaction systems. Inverse Problems, 29(3): 26.
20. Pyatkov S.G. and E.I. Safonov. 2017. On Some Classes of Inverse Problems of Recovering a Source Function. Siber. Adv. in Math., 27(2): 119-132.