Аннотация.
Рассматривается задача дифференциальной игры стабилизации с нулевой суммой и квадратичным функционалом качества. Объект управления, подвергающийся воздействию неконтролируемых возмущений, описывается нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Известно, что синтез оптимальных управлений с обратной связью приводит к необходимости решать в темпе функционирования системы скалярное дифференциальное уравнение в частных производных Беллмана-Айзекса. Для решения этого уравнения в работе предложен алгебраический метод. Приведены результаты моделирования дифференциальной игры с нулевой суммой в задаче управления техническим объектом.
дифференциальные игры, оптимальное управление, уравнение Беллмана-Айзекса, псевдообратные матрицы.
EDN: JCPGCT
Стр. 80-91.
References
1. Isaacs R.P. Games of Pursuit, Paper P-257. – RAND Corporation, Santa Monica, California. 1951. 14 p.
2. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967. 479 c.
3. Breakwell, J.V. and Merz, A.W. Toward a Complete Solution of the Homicidal Chauffeur Game, Proceedings of the 1st International Conference on the Theory and Applications of Differential Games, Amherst, Massachusetts. 1969.
4. Bryson А.Е., Yu-Chi Ho. Applied Optimal Control. Optimization, Estimation and Control. Waltham, Massachusetts Toronto, London. 1969. 481 р.
5. Pontryagin L.S. Linear Differential Games I. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1967;174(6):1278-1280.
6. Pontryagin L.S. Linear Differential Games II. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1967;175(4):764-766.
7. Mishchenko E.F. and Satimov N.Yu. The problem of avoiding an encounter in differential games with nonlinear controls. Diff. Uravn. 1973;9(10):1792–1797.
8. Subbotin A.I. Generalization Solutions of First-Oder PDFs. The Dynamical Optimization Perspective. Birkhauser. Boston. Basel. Berlin. 2003.
9. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1977. 224 с.
10. Вишневецкий Л.С, Меликян А.А. Оптимальное преследование на плоскости при наличии препятствия // Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 4. C. 613–620.
11. Melikyan, A.A. Geometry of Pursuit-Evasion Games on Two-Dimensional Manifolds // S. 0rgensen, M. Quincampoix (eds.) Annals of the International Society of Dynamic Games. Boston:Birkhauser. 2007;9.
12. Wei Lin, Zhihua Qu, Marwan A. Simaan. A Design of Entrapment Strategies for the Distributed Pursuit-Evasion Game. // Preprints of the 18th World Congress IFAC, Milano (Italy) August 28 – September 2. 2011. P. 9334–9339.
13. Kumkov S.S., Le Menec S. and Patsko V.S. Model formulation of pursuit. problem with two pursuers and one evader,” Advances in Aerospace Guidance, Nav-. igation and Control, Springer, Berlin, Heidelberg. 2013. P. 121–137.
14. Reif J.H. The complexity of two-player games of incomplete information. J. Comput. Syst. Sci. 1984;29:274–301.
15. Peters H. Finite Games with Incomplete Information, Game Theory; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany. 2008. P. 59–71
16. Афанасьев В.Н. Дифференциальные игры в задачах управления неопределенными объектами. М.: ЛЕНАНД. 2023. 400 с.
17. Галяев А.А., Насонов И.А., Медведев А.И. Нейросетевой алгоритм перехвата машиной Дубинса целей, движущихся по известным траекториям. // Автоматика и телемеханика. 2023. Т. 84. № 3. С. 221–236.
18. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. Равновесие по Нэшу. М.: URSS. 2010. 168 с.
19. Roberta Martino and Viviana Ventre. An Analytic Network Process to Support Financial DecisionMaking in the Context of Behavioural Finance. Mathematics. 2023;11(18): 3994.
20. Jaume Belles-Sampera, Montserrat Guillen and Miguel Santolino. Haircut Capital Allocation as the Solution of a Quadratic Optimisation Problem. Mathematics. 2023;11(18): 3846.
21. Васин А. А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс-пресс. 2005. 272 с.
22. McCarty N., Meirowitz A.A. Political Game Theory: An Introduction; Cambridge University Press: Cambridge, MA, USA. 2007. 446 р.
23. Новиков Д.А. Иерархические модели военных действий //. Управление большими системами. 2012. Вып. 37. С. 25-62.
24. Kim S.-K. Advanced Drone Swarm Security by Using Blockchain Governance Game. Mathematics. 2022;10:3338.
25. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2010. 400 с.
26. Jordan Kralev and Tsonyo Slavov. Robust μ-Controller for Automatic Glucose Regulation for Type I Diabetes Mellitus. Mathematics. 2023;11(18):3856.
27. Трубецков Д.И. Феномен математической модели Лоттки – Вольтерры и сходных с ней // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19. № 2. С. 69-88.
28. Buratto A., Cesaretto R., Zamarchi R. HIV vs. the Immune System: A Differential Game. Math. 2015;3(4):1139–1170.
29. Masoud Saade, Sebastian Aniţa and Vitaly Volpert. Dynamics of Persistent Epidemic and Optimal Control of Vaccination. Mathematics. 2023;11(17):3770.
30. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Д.Б. Математическая теория Автоматического управления. М.: ЛЕНАНД. 2019. 504 с.
31. Теория управления. Дополнительные главы. Под редакцией Д.А. Новикова. М.: ЛЕНАНД. 2019. 552 с.
32. Yiwei Wu, Hongyu Zhang, Fei Li, Shuaian Wang and Lu Zhen. Optimal Selection of MultiFuel Engines for Ships Considering Fuel Price Uncertainty. Mathematics. 2023;11(17):3621.
33. Peters H. Finite Games with Incomplete Information, Game Theory; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany. 2008. P. 59–71.
34. Ho Y.C., Bryson A.E. and Baron S. Differential Games and Optimal Pursuit-Evasion Strategies. IEEE Trans. Automatic Control. 1965;AC-10:385–389.
35. Bellman R. Dynamic Programming. Princeton, New Jersey.1957. 363 p.
36. Суббутин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 336 с.
37. Liu R. W. and Leake J. Inverse Lyapunov Problems. Technical Report No. EE6510, Department of Electrical Engineering, University of Notre Dame, August. 1965.
38. Sain M.K. Won, C.-H. Spencer Jr. B.F. and Liberty S.R. Cumulates and Risk-Sensitive Control: A Cost Mean and Variance Theory with Application to Seismic Protection of Structures // Advances in Dynamic Games and Applications, Annals of the International Society of Dynamic Games. 2000;5:427-459.
39. Lancaster and Tismenetsky. The Theory of Matrices: With Applications. Elsevier. 1985. 570 p.
40. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука. 1977. 224 с.
41. Fontenla F., Haimovich H., Kofman E., Seron M. et al. Control design with guaranteed ultimate bound for feedback linearizable systems // Proc. of the 17th World Congress IFAC. Seoul, Korea. 2008. P. 242-247.Труды ИСА РАН. Том 75. 3/2025 89 Синтез оптимальных управлений в задаче дифференциальной игры. Алгебраический метод
42. Dehghani M., Nikravesh S.K. Nonlinear State Space Model Identification of Synchronous Generators // doi: 10.1016/j.epsr.2007.07.001.
43. Karimzadeh А. et al. Data-Driven Controller Design for a Synchronous Generator Connected to an Infinite Bus. // doi: 10.1109/ICCIA54998.2022.9737178.
