Аннотация.

В работе рассматривается модель функционирования возбудимой или активной среды, каждый элемент которой имеет два типа состояний: активного (возбужденного) и покоя. Показано, что распространение возбуждения должно рассматриваться как целенаправленный процесс, необходимый для нормального функционирования активной среды. Активация каждого элемента активной среды определяется некоторым порогом, величина которого зависит от состояния всей среды. Для этого элемент в активном состоянии генерирует потенциальную функцию, которая определяет множество активированных элементов. В свою очередь, множество активированных элементов генерирует свою потенциальную функцию, которая служит целевой функцией для нахождения (оптимального, равновесного) состояния элемента. Размер множества активированных элементов определяет достоверность (устойчивость, надежность) найденного состояния. Таким образом, модель функционирования активного элемента сводится к композиции двух отображений: активное состояние – множество активных состояний – равновесное (оптимальное) состояние. Эта композиция названа пилотным преобразованием. Рассматривается несколько вариантов модели функционирования активного элемента (пилотного преобразования): детерминированный (описывающий динамику волны возбуждения (прямой и отраженной) в приближении геометрической оптики), вероятностный (ведущий к уравнению Шредингера, описывающего динамику волновой функции) и (общий) вариант, основанный на введении потенциального поля.

Ключевые слова:

активные, возбудимые среды, потенциальная функция, двойственность, управляющее поле.

Стр. 16-22.

Полная версия статьи в формате pdf. 

A. I. Proroi

"A model of active elements"

Abstract. A model of functioning of an active or excitable medium is considered. Each element of the medium has two types of states: the active (excitable) state and the state of rest. We show that the propagation of excitation should be considered as a part of a goal oriented process which is necessary for a normal functioning of active medium. The activation of each element of the medium is defined by a threshold that depends on the state of the whole medium. For this each element in the active state generates a potential function that defines the set of activated elements. In its turn, the set of activated elements generates its own potential function which serves as an objective function for determining an optimal (equilibrium) state of the activated element. The size of the set of activated elements defines the reliability and stability of the determined state. Therefore, a model of functioning of an active element can be formalized as a composition of two mappings: an active state – the set of active states – the optimal (equilibrium) state. We call this composition the pilot transformation. Several variants of the functioning of an active element (of the pilot transformation) are considered: a deterministic variant that describes the dynamics of the excitation wave ( in forward and backward direction) in the framework of the geometric optic, a probabilistic variant which leads to the Schrodinger equation (describing the dynamics of the wave function) and a general variant which is based on a potential (guiding) field.

Keywords: active, excitable media, potential function, duality, guiding field.

REFERENCES

1. Gelfand I.M., Fomin S.V. Rasprostranenie vozbuzhdeniya i kanonicheskie uravneniya, v knige: Variatsionnoe ischislenie. M.: Fizmatgiz, 1961.
2. Propoy A.I. Modeli vozbudimykh sred. Avtomatika i telemekhanika. 1995, vyp. 6, s.117-126.
3. Propoy A.I. Vozbudimye sredy i nelokalnyy poisk. Avtomatika i telemekhanika. 1995, vyp. 7, s.162- 171.
4. Propoi A.I. On the structure of controlling motion. Nonlinear Dynamics and Control, 2007, No. 6, pages 59 –68.
5. Propoi A.I. Feasible Set in Model Predictive Control, in: Model Predictive Control: Theory, Practices and Future Challenges. Ed. C. Wade, 2015, Nova Science Publishers, NY.
6. Pontryagin L. S., Boltyanskiy V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko Ye. F. Matematicheskaya teoriya optimalnykh protsessov. Nauka, M., 1969.
7. Rockafellar R.T. Convex Analysis. 1977, Princeton University Press.
8. Peres A. Quantum Theory: Concepts and Methods. 2002, Kluwer.
9. Hughes R.I.G. The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics. 1989, Harvard University Press.
10. Beurling A. and Livingston A.E. A theorem on duality mappings in Banach spaces, Ark Mat. 4 (1962), 405-411.
11. Browder F. E. Solvability of non-linear functional equations, Duke Math. J. 30 (1963), 557-566.
12. Propoy A.I. Sootnoshenie neopredelennosti v optimizatsii. Trudy ISA RAN, sent. 2015.
13. Veyl G. Prostranstvo. Vremya. Materiya. Lektsii po obshchey teorii otnositelnosti. M.: Editorial URSS, 2004.
14. Veyl G. Matematicheskoe myshlenie. M., Nauka, 1989.